Тройные звезды и тройные галактики
Если движутся одна относительно другой две звезды и известны в какой-то момент времени их положения и скорости, то теория позволяет предсказать положение и скорость каждой из звезд в любой момент времени и как угодно точно. Задача двух тел имеет общее решение. Известно, что в двойных системах орбитами компонентов могут быть только эллипсы, параболы и гиперболы.
Но как только от двух тел мы переходим к трем телам, задача в огромной степени усложняется. Существует, правда, общее решение задачи, полученное в 1912 г. финским математиком Зундманом, дающее зависимость положений трех точечных тел от времени в виде бесконечных рядов. Но это один из тех редких случаев, когда ценный теоретический результат оказывается неприменимым на практике, так как использование его требует чрезмерно больших усилий. Как показал французский математик Белорицкий, для получения положений в задаче трех тел с той точностью, с какой в настоящее время обычно определяют положения планет, в рядах Зундмана необходимо брать сумму не менее 108000000 членов — число, находящееся не только за пределами практики, но и недоступное нашему воображению. Для сравнения укажем, что полное число атомов во всей той области Вселенной, которая достижима современной астрономии (до расстояния 3000 Мпс), оценивается в 1075 — 1076.
Другой, на первый взгляд малопривлекательный путь исследования, называемый численным методом, состоит в том, что выбирают какие-то начальные положения и скорости трех тел и затем, шаг за шагом, вычисляют положения и скорости этих тел через равные малые промежутки времени Δt. При этом учитывают, что положения тел через время Δt изменятся в соответствии с их скоростями, а значения скоростей тел через время Δt изменятся в соответствии с их ускорениями, вызываемыми взаимным тяготением. Ускорения легко вычислить, если известно взаимное положение тел.
Численный метод исследования задачи трех тел не мог быть до сих пор успешно использован главным образом вследствие его большой трудоемкости. Вычисление шаг за шагом траекторий и скоростей точечных тел требует при ручном счете огромной работы. Существенно то, что этот метод приближенный, так как при его применении принимается, что в течение малого промежутка времени точечные тела движутся по прямым, а ускорения и скорости постоянны и изменяются скачком лишь в самом конце промежутка времени Δt. Для повышения точности необходимо уменьшать в вычислениях промежуток времени Δt. Но уменьшение Δt, очевидно, сильно увеличивает объем работы.
Кроме того, если рассмотреть один какой-то пример начальных условий и получить путем численного метода картину движений в этом примере, то это еще очень малая информация о динамике трех тел: ведь примеров начальных условий бесчисленное множество и у каждого свои особенности. Только рассмотрев большое число примеров и позаботившись о том, чтобы эта совокупность примеров была представительной, т. е. чтобы она достаточно правильно выражала основные свойства бесконечного множества возможных примеров начальных условий, можно вынести* общие суждения о динамике точечных масс в задаче трех тел.
